Преобразование Фурье

Опубликовано 26.08.2010 Ведущий Филипп Болгов

Почти каждый аудиолюбитель даже не будучи математиком, наверняка слышал о так называемом преобразовании Фурье, FFT, DFT и т.д. А все потому, что именно это преобразование лежит в основе спектрального анализа, который в свою очередь является одной из базисных вещей в эквализации и синтезе звука. Преобразование Фурье - это глубоко математическая вещь и поэтому не все, кто хотя бы раз интересовался его сутью, смогли докопаться до истины.
Мы попробуем максимально просто и понятно объяснить вам суть этого метода, при этом не углубляясь в сложности интегрального исчисления.
Двойную спираль ДНК, циклы солнечной активности и сложные электронные сигналы математически можно представить в виде ряда волнообразных кривых. Эта идея лежит в основе мощного аналитического инструмента - преобразования Фурье. Первым человеком, поведавшим миру об этом методе, был французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, именем которого и было названо преобразование.
Преобразование Фурье происходит всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, проделать которое наш сознательный ум способен лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха строит преобразование, представляя звук - колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах - в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг превращает эту информацию в воспринимаемый звук.
Солнечный луч, разложенный на спектр также, является физическим аналогом математических преобразований. Интенсивность солнечного луча, входящего в призму, постоянно меняется во времени. Свет, выходящий из призмы, разделён в пространстве на отдельные "чистые" цвета, или частоты. В этом спектре имеется средняя амплитуда на каждой частоте. Таким образом, функция интенсивности от времени трансформировалась в функцию амплитуды в зависимости от частоты. Преобразование Фурье может представить сигнал, изменяющийся во времени, в виде зависимости частоты и амплитуды, но оно даёт также информацию о фазе.
В цифровой технике наиболее распространённым видом анализа сигналов является преобразование временного сигнала в частотную область для получения спектра частот сигнала.
Давайте попробуем схематически проделать такую процедуру над небольшим участком кривой, описывающей звуковые колебания.
Здесь следует учитывать тот факт, что согласно известной теореме Найквиста, известной в русской научной литературе под названием теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый (непрерывный по времени) сигнал можно было точно восстановить по его отсчетам, частота дискретизации должна быть как минимум вдвое больше максимальной звуковой частоты. Звуковая частота, равная половине частоты дискретизации, называется частотой Найквиста и является максимальной частотой, которую данная цифровая система может правильно сохранить и воспроизвести. Таким образом, если реальный аналоговый сигнал, который мы собираемся преобразовать в цифровую форму, содержит частотные компоненты от 0 до 20 кГц, то частота дискретизации такого сигнала должна быть не менее 40 кГц, т.е. максимальная спектральная частота, которую можно получить методом БПФ при оцифровке данных в данном случае составит 20 кГц.